Origine des premiers ensembles de nombres

Les entiers naturels

La construction de l'ensemble des entiers naturels est celle qui s'est faite de la manière la plus naturelle.

Les naturels doivent leur nom à ce qu'ils avaient pour objet, aux prémices de leur existence, de dénombrer des quantités et des choses de la nature ou qui intervenaient dans la vie de l'homme. L'originalité de l'ensemble N réside dans la manière empirique dont il s'est construit car il ne résulte pas réellement d'une définition mathématique, mais davantage d'une prise de conscience par l'homme du concept de quantité dénombrable, de nombre et de lois qui traduisent des relations entre eux.

Ainsi les 5 lois (ou opérations) définies sur l'ensemble N (addition, soustraction, multiplication, division, élévation à une puissance entière) sont avant tout une formulation scientifique des relations que l'homme est amené à établir entre les nombres, entre les quantités lorsqu'il considère et étudie de la manière la plus simple, la plus naturelle les objets qui l'entourent.

La question de l'origine de N est dès lors la question de l'origine des mathématiques. Et de tout temps des débats confrontant les pensées des plus grands esprits philosophiques ont tenté d'élucider ce profond mystère, à savoir si les mathématiques sont une pure création de l'esprit humain ou si au contraire l'homme n'a fait que redécouvrir une science qui existait déjà dans la nature.

Et vous, qu'en pensez vous ?

Outre les nombreuses questions philosophiques que cet ensemble peut susciter, il n'en est pas moins intéressant d'un point de vue exclusivement mathématique. Du fait de sa structure, il présente des propriétés remarquables qui peuvent se révéler d'une grande utilité lorsque l'on pratique certains raisonnements (récurrence, descente infinie, principe de Dirichlet, ...) ou calculs.

Les entiers relatifs

Sa construction n'a pas été aussi évidente que pour son précurseur, elle s'est heurté à l'opposition de nombreux mathématiciens, et ne fut reconnu à l'unanimité que tardivement.

Pourquoi le concept de nombre négatif ?

Introduisons tout d'abord la notion de groupe...

Considérons un ensemble E, muni d'une certaine loi (ou opération) que nous noterons #.

Par définition dire que E est un groupe pour la loi # signifie que :

" a, b Î E : (a # b) Î E

(# est une loi interne de E)

" a, b, c Î E : a # (b # c) = (a # b) # c

(la loi # est associative)

$ n Î E tel que " a Î E : a # n = n # a = a

(n est un élément neutre pour la loi #)

" a Î E : $ a' Î E tel que a # a' = a' # a = n

(tout élément de E admet un symétrique par rapport a loi #)

Il se trouve que lorsqu'un ensemble se trouve être un groupe pour une loi donnée, il possède alors automatiquement un nombre considérable de propriétés intéressantes.

Peut-on dire que N soit un groupe pour la loi addition ?

Non car aucun de ses éléments non nuls n'admet de symétrique (appelé dans ce cas opposé).

C'est justement pour remédier à cela que certains mathématiciens ont dès lors cherché à construire un ensemble contenant N mais qui serait un groupe pour l'addition. Ils eurent ainsi l'idée de définir l'ensemble des entiers négatifs constitués d'éléments tels que sa réunion avec N soit un groupe pour l'addition.

On créera alors l'ensemble des nombres relatifs (note Z) constitués du sous-ensemble des entiers naturels (aussi notés Z+ = N) et de celui de leurs opposés (notés Z-).

L'ensemble Z est aussi, si ce n'est plus, intéressant pour ce qui est des propriétés qu'il possède (celles de N et celles qui découlent de son statut de groupe). Cela explique son importance dans de nombreuses branches des mathématiques et l'existence d'une d'entre elles qui lui est presque entièrement consacrée : l'arithmétique.

Les nombres rationnels

La logique de son introduction est similaire à celle de l'ensemble des nombres relatifs.

Si Z est un groupe pour l'addition, il n'en est pas un pour la multiplication car il n'existe pas de symétrique par rapport à cette dernière loi pour tous ses éléments. D'où l'idée de construire à partir de Z, un ensemble qui possèderait ces symétriques (appelés aussi dans ce cas inverses).

Outre les circonstances historiques de sa mise en place, ce nouvel ensemble, que l'on appellera ensemble des nombres rationnels et que l'on notera Q, se distingue des ensembles d'entiers, car il induit la notion originale et paradoxale de quantité partielle. Cette notion qui a priori n'a pas de sens, trouvera sa place dans l'esprit de l'homme notamment grâce à la géométrie où l'idée de fraction de longueur, de proportion s'illustre plus intuitivement.

L'ensemble Q sera par ailleurs divisé en deux sous-catégories disjointes : le sous-ensemble D des nombres décimaux (nombres dont l'écriture décimale est constituée d'un nombre fini de chiffres) et le sous-ensemble des nombres non-décimaux (nombres dont l'écriture décimale est constituée d'un nombre infini et périodique de chiffres).